\section{Уравнение в барицентрических координатах}

Используя перечисленные ранее формулы, (\ref{Helmholz}) можно переписать
в виде
\begin{gather}
\label{Helmholz2}
\Delta F(u,v,w)\equiv T_{uu}\frac{\partial^2F}{\partial u^2}+
T_{vv}\frac{\partial^2F}{\partial v^2}+
T_{ww}\frac{\partial^2F}{\partial w^2}+\\
\notag
2T_{uv}\frac{\partial^2F}{\partial u\partial v}+
2T_{uw}\frac{\partial^2F}{\partial u\partial w}+
2T_{vw}\frac{\partial^2F}{\partial v\partial w}=-M^2F
%\notag
\end{gather}
, а граничные условия (\ref{boundary}) примут вид:
\begin{equation}
\label{boundary2}
F(0,v,w)=F(u,0,w)=F(u,v,0)=0
%\notag
\end{equation}

Переменные $(u,v,w)$ в (\ref{boundary2}) не являются свободными, так как связаны условием (\ref{equal1}). На границе области, ограниченной $\triangle_{UVW}$, по крайней мере одна из них обращается в $0$, а в совокупности,
кроме (\ref{equal1}), в пределах $\triangle_{UVW}$ связаны ещё и условиями 
\begin{equation}
%\label{boundary3}
0\leqslant(u,v,w)\leqslant 1 
\notag
\end{equation}
, т.е. на границе сумма двух отличных от $0$ координат равна $1$.
