\section{Барицентрические координаты}
Для треугольника $\triangle_{UVW}$ с координатами $U(x_u,y_u),V(x_v,y_v),W(x_w,y_w)$ определим его углы $\hat U=\angle U,\hat V=\angle V,\hat W=\angle W$ и барицентрические координаты $u,v,w$, 
как решение системы уравнений
\begin{equation}
\label{barycentre}
\left(
\begin{array}{ccc}
x_u & x_v & x_w\\
y_u & y_v & y_w\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right)
\begin{pmatrix}
u\\v\\w
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x\\y\\1
\end{pmatrix}
%\notag
\end{equation}
, где для $u,v,w$ выполняется дополнительное условие
(\ref{equal1})
\begin{equation}
\label{equal1}
\fbox{u+v+w=1}
\end{equation}

Обозначим $\hat U=\angle U,\hat V=\angle V,\hat W=\angle W$, имеем равенство
\begin{equation}
\label{sumpi}
\fbox{$\hat U+\hat V+\hat W=\pi$}
\end{equation}
Не теряя общности, можно положить
\begin{equation}
\label{UlessVlessW}
\hat U\leqslant\hat V\leqslant\hat W
\end{equation}

Для вершин треугольника барицентрические координаты суть следующие
\begin{equation}
%\label{vertexes}
U(1,0,0),V(0,1,0),W(0,0,1)
\notag
\end{equation}

Определим $D$ и $S$:
\begin{equation}
%\label{DSS}
D=\left|
\begin{array}{ccc}
x_u & x_v & x_w\\
y_u & y_v & y_w\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right|=2S
\notag
\end{equation}

Тогда барицентрические координаты $u,v,w$ любой точки можно пересчитать по формулам
\begin{equation}
%\label{calc_xy}
u=\frac{1}{D}\left|
\begin{array}{ccc}
x & x_v & x_w\\
y & y_v & y_w\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right|,
v=\frac{1}{D}\left|
\begin{array}{ccc}
x_u & x & x_w\\
y_u & y & y_w\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right|,
w=\frac{1}{D}\left|
\begin{array}{ccc}
x_u & x_v & x\\
y_u & y_v & y\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right|
\notag
\end{equation}

Определим $l_u,l_v,l_w$ как длины сторон треугольника $\triangle_{UVW}$, расположенных 
соответственно против вершин $U,V,W$. Определим и вычислим далее производные и переменные $T_{\alpha\beta}$:
\begin{equation}
%\label{deriv_x}
u^\prime_x=\frac{\displaystyle{y_v-y_w}}{\displaystyle{D}},\quad 
v^\prime_x=\frac{\displaystyle{y_w-y_u}}{\displaystyle{D}},\quad 
w^\prime_x=\frac{\displaystyle{y_u-y_v}}{\displaystyle{D}}
\notag
\end{equation}

\begin{equation}
%\label{deriv_y}
u^\prime_y=\frac{\displaystyle{x_w-x_v}}{\displaystyle{D}},\quad 
v^\prime_y=\frac{\displaystyle{x_u-x_w}}{\displaystyle{D}},\quad 
w^\prime_y=\frac{\displaystyle{x_v-x_u}}{\displaystyle{D}}
\notag
\end{equation}

\begin{equation}
%\label{Tuu}
T_{uu}\equiv\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2=\frac{l^2_u}{D^2}
\notag
\end{equation}

\begin{equation}
%\label{Tvv}
T_{vv}\equiv\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2=\frac{l^2_v}{D^2}
\notag
\end{equation}

\begin{equation}
%\label{Tww}
T_{ww}\equiv\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2=\frac{l^2_w}{D^2}
\notag
\end{equation}

\begin{equation}
%\label{Tuv}
T_{uv}\equiv\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+
\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}=
-\frac{l_ul_v\cos{\hat W}}{D^2}
\notag
\end{equation}

\begin{equation}
%\label{Tuw}
T_{uw}\equiv\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial w}{\partial x}+
\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial w}{\partial y}=
-\frac{l_ul_w\cos{\hat V}}{D^2}
\notag
\end{equation}

\begin{equation}
%\label{Tvw}
T_{vw}\equiv\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial w}{\partial x}+
\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial w}{\partial y}=
-\frac{l_vl_w\cos{\hat U}}{D^2}
\notag
\end{equation}

Коэффициенты треугольника $T_{\alpha\beta}$ связаны указаными далее зависимостями. Независимыми
можно выбрать, к примеру, либо $T_{uu},T_{vv},T_{ww}$, либо $T_{uu},T_{vv},T_{uv}$.

\begin{equation}
%\label{T2_link}
\!T_{uu}\!=\!T_{vv}\!+\!T_{ww}\!+\!2T_{vw},
T_{vv}\!=\!T_{uu}\!+\!T_{ww}\!+\!2T_{uw},
T_{ww}\!=\!T_{uu}\!+\!T_{vv}\!+\!2T_{uv}\!
\notag
\end{equation}
\begin{equation}
%\label{equals0}
T_{uu}+T_{uv}+T_{uw}=0,\quad
T_{uv}+T_{vv}+T_{vw}=0,\quad
T_{uw}+T_{vw}+T_{ww}=0
\notag
\end{equation}
\begin{equation}
%\label{Tall}
T_{uu}+T_{vv}+T_{ww}+2T_{uv}+2T_{uw}+2T_{vw}=0
\notag
\end{equation}

Обозначим $R$ - радиус описанного вокруг треугольника окружности. Тогда имеем следующие равенства

\begin{equation}
%\label{luvwall1}
\frac{l_u}{\sin{\hat U}}=\frac{l_v}{\sin{\hat V}}=\frac{l_w}{\sin{\hat W}}=2R
\notag
\end{equation}

\begin{equation}
%\label{luvwall2}
l_u=2R\sin{\hat U},\quad l_v=2R\sin{\hat V},\quad l_w=2R\sin{\hat W}
\notag
\end{equation}

\begin{equation}
%\label{SR}
S=2R^2\sin{\hat U}\sin{\hat V}\sin{\hat W}
\notag
\end{equation}

\begin{equation}
%\label{TuuR}
T_{uu}=\frac{1}{4R^2\sin^2{\hat V}\sin^2{\hat W}}
\notag
\end{equation}

\begin{equation}
%\label{TvvR}
T_{vv}=\frac{1}{4R^2\sin^2{\hat U}\sin^2{\hat W}}
\notag
\end{equation}

\begin{equation}
%\label{TwwR}
T_{ww}=\frac{1}{4R^2\sin^2{\hat U}\sin^2{\hat V}}
\notag
\end{equation}

\begin{equation}
%\label{TuvR}
T_{uv}=-\frac{\cos{\hat W}}{4R^2\sin{\hat U}\sin{\hat V}\sin^2{\hat W}}
\notag
\end{equation}

\begin{equation}
%\label{TuwR}
T_{uw}=-\frac{\cos{\hat V}}{4R^2\sin{\hat U}\sin^2{\hat V}\sin{\hat W}}
\notag
\end{equation}

\begin{equation}
%\label{TvwR}
T_{vw}=-\frac{\cos{\hat U}}{4R^2\sin^2{\hat U}\sin{\hat V}\sin{\hat W}}
\notag
\end{equation}

Из (\ref{sumpi}) следует, что
\begin{equation}
%\label{casW}
\sin{\hat W}=\sin{\hat U}\cos{\hat V}+\sin{\hat V}\cos{\hat U},\quad
\cos{\hat W}=\sin{\hat U}\sin{\hat V}-\cos{\hat U}\cos{\hat V}\
\notag
\end{equation}

В дальнейшем будет несколько раз использована формула
\begin{equation}
%\label{angleSigma}
a\sin{\varphi}+b\cos{\varphi}=\rho\sin{\left(\varphi+\sigma\right)}
\notag
\end{equation}
, где
\begin{equation}
\label{calcSigma}
\rho=\sqrt{a^2+b^2},\quad\tg{\sigma}=\frac{b}{a},\quad\sin{\sigma}=\frac{b}{\rho},
\quad\cos{\sigma}=\frac{a}{\rho}
%\notag
\end{equation}
и её частные варианты
\begin{equation}
%\label{shortAngleSigma}
\sin{\varphi}+\tg{\sigma}\cos{\varphi}=\frac{1}{\cos{\sigma}}\sin{\left(\varphi+\sigma\right)}
\notag
\end{equation}
\begin{equation}
%\label{shortAngleSigma}
\sin{\varphi}+\ctg{\sigma}\cos{\varphi}=\frac{1}{\sin{\sigma}}\cos{\left(\varphi-\sigma\right)}
\notag
\end{equation}

