\section{Правила учёта граничных условий}
Функция $F=\sum\limits^n_{i=1}\sin{\left(\tilde A_iu+\tilde B_iv+C_i\right)}$ должна обращаться в нуль, когда хотя бы одна из переменных $u$, $v$ или $w$ обращается в $0$. Отсюда следуют формулы

\begin{equation}
\label{Fu0}
F(u=0)\equiv\sum\limits^n_{i=1}\sin{\left(\tilde B_iv+C_i\right)}=0,\quad\forall v
%\notag
\end{equation}

\begin{equation}
\label{Fv0}
F(v=0)\equiv\sum\limits^n_{i=1}\sin{\left(\tilde A_iu+C_i\right)}=0,\quad\forall u
%\notag
\end{equation}

Если $w=0$, то $u+v=1$, и, полагая $u=t+\frac{1}{2}$, $v=-t+\frac{1}{2}$, получим

\begin{equation}
\label{Fw0}
F(v=0)\equiv\sum\limits^n_{i=1}\sin{\left\{\left(\tilde A_i-\tilde B_i\right)t+
\frac{1}{2}\left(\tilde A_i+\tilde B_i\right)+C_i\right\}}=0,\quad\forall t
%\notag
\end{equation}

Введём обозначение

\begin{equation}
%\label{Psi}
\Psi_i=\frac{1}{2}\left(\tilde A_i+\tilde B_i\right)+C_i
\notag
\end{equation}
и выпишем следующие правила для учёта граничных условий
\begin{equation}
\label{role1}
\left(\sin{\left(\alpha t+\beta_1\right)}+\sin{\left(-\alpha t+\beta_2\right)}\equiv 0,\quad\forall t\right)\Rightarrow\quad
\beta_1+\beta_2=2k\pi
\end{equation}
\begin{equation}
\label{role2}
\left(\sin{\left(\alpha t+\beta_1\right)}+\sin{\left(\alpha t+\beta_2\right)}\equiv 0,\quad\forall t\right)\Rightarrow\quad
\beta_1-\beta_2=(2k+1)\pi
\end{equation}
В формулах (\ref{role1}) и (\ref{role2}) $k$ может пробегать весь ряд натуральных чисел:
$k=0,\pm 1,\pm 2\ldots$ .
\par
Смысл правил (\ref{role1}) и (\ref{role2}) следующий: для того чтобы указанная сумма двух функций была бы тождественным нулём при любых $t$, достаточно выполнения соответствующего условия правой части правила.
