\subsection{Равносторонний треугольник}

Равносторонний треугольник - это одновременно равноугольный треугольник, ему соответствует пропорция углов $1:1:1$. Имеет две серии решений. Вычислим его константы, считая заданным $R$.\newline
\begin{gather*}
\hat U=\hat V=\hat W=\frac{\pi}{3},\quad a\equiv l_u=l_v=l_w=R_1=R_2=R_3=R\sqrt{3},\\
D=2R^2\sqrt{3},\quad T\equiv T_{uu}=T_{vv}=T_{ww}=\frac{1}{4R^2},\\
T_{uv}=T_{uw}=T_{vw}=-\frac{1}{8R^2},\\
\sigma_1=\frac{\pi}{6},\quad \sigma_2=\frac{\pi}{2},\quad \sigma_3=-\frac{\pi}{6}
\end{gather*}

\paragraph{Серия 1.}

Подберём 3 таких угла $\Phi_i$, чтобы $\sin{\left(\Phi+\sigma_i\right)}=0$ и составим таблицу всего из трёх строк, соответствующим этим углам. Напоминаем, что каждое частное решение, соответствующее $\Phi_i$, имеет вид
\begin{equation}
f_i=\sin{\left(\tilde A_iu+\tilde B_iv+C_i\right)}
\notag
\end{equation}
, где $\tilde A_i,\tilde B_i$ вычисляются через $\Phi_i$.
\par
Запишем матрицу из коэффициентов частных решений
$$
%\begin{array}{ccccc}
\begin{matrix}
\mbox{\textnumero} & \Phi & \tilde A & \tilde B & \tilde A-\tilde B & \Psi\\
\mbox{\tiny\phantom{x}}\\
1 &
\displaystyle
-\frac{\pi}{6}
%\pi/6 
& 0\\
\mbox{\tiny\phantom{x}}\\
2 &
\displaystyle
\frac{\pi}{2}
%\pi/2
& \phantom{*} & 0\\
\mbox{\tiny\phantom{x}}\\
3 & 
\displaystyle
\frac{\pi}{6}
%5\pi/6 
& \phantom{*} & \phantom{*} & 0
\end{matrix}
%\end{array}
$$
, а затем начнём заполнять пустые места, вычисляя значения
$$
%\begin{array}{ccccc}
\begin{matrix}
\mbox{\textnumero} & \Phi & \tilde A & \tilde B & \tilde A-\tilde B & \Psi\\
\mbox{\tiny\phantom{x}}\\
1 &
\displaystyle
-\frac{\pi}{6}
& 0 & \displaystyle Ma\sin{\frac{\pi}{3}} & \displaystyle -Ma\sin{\frac{\pi}{3}}\\
\mbox{\tiny\phantom{x}}\\
2 &
\displaystyle
\frac{\pi}{2}
%\pi/2
& \displaystyle Ma\sin{\frac{\pi}{3}} & 0 & \displaystyle Ma\sin{\frac{\pi}{3}}\\
\mbox{\tiny\phantom{x}}\\
3 & 
\displaystyle
\frac{\pi}{6}
%5\pi/6 
& \displaystyle Ma\sin{\frac{\pi}{3}} & \displaystyle Ma\sin{\frac{\pi}{3}} & 0
\end{matrix}
%\end{array}
$$
Здесь была использована формула
\begin{equation}
\sin{\frac{2\pi}{3}}=\sin{\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)}=\sin{\frac{\pi}{3}}
\notag
\end{equation}
В каждом из столбцов $\tilde A,\tilde B,\tilde A-\tilde B$ легко находятся пары с совпадающими либо противоположными по знаку значениями. Из пары $(\tilde A_2,\tilde A_3)$, используя (\ref{role2}) и полагая 
\begin{equation}
\alpha=Ma\sin{\frac{\pi}{3}},\quad\beta_1=C_2,\quad\beta_2=C_3
\notag
\end{equation}
, получаем
\begin{equation}
C_2-C_3=(2k_1+1)\pi
\notag
\end{equation}
Из пары $(\tilde B_1,\tilde B_3)$, используя (\ref{role2}) и полагая
\begin{equation}
\alpha=Ma\sin{\frac{\pi}{3}},\quad\beta_1=C_1,\quad\beta_2=C_3
\notag
\end{equation}
, получаем
\begin{equation}
C_1-C_3=(2k_2+1)\pi
\notag
\end{equation}
Наконец, из пары $(\tilde A_1-\tilde B_1,\tilde A_3-\tilde B_3)$, используя (\ref{role1}) и полагая 
\begin{equation}
\alpha=Ma\sin{\frac{\pi}{3}},\quad\beta_1=\Psi_1,\quad\beta_2=\Psi_2
\notag
\end{equation}
, получаем
\begin{equation}
\Psi_1+\Psi_2=2k_3\pi
\notag
\end{equation}
, где $\Psi_1=\frac{1}{2}Ma\sin{\frac{\pi}{3}}+C_1$, $\Psi_2=\frac{1}{2}Ma\sin{\frac{\pi}{3}}+C_2$.
\par
Коэффициенты $C_i$, с одной стороны, имеют значения $mod(2\pi)$; с другой стороны, позволяя им принимать значения при различных $k_j$, можно получить весь ряд собственных чисел и собственных значений. Поэтому сначала берутся во внимание их общие значения, до вычисления $M$ в виде функции от целочисленных индексов $k_j$, затем эти значения обрезаются по $mod(2\pi)$ без потери общности.
\par
Выпишем выражение для $F$ полностью.
%\begin{multline}
\begin{gather}
\label{pr111F}
F(u,v,w)=\sin{\left(Ma\sin{\frac{\pi}{3}}v+C_1\right)}+\\
\notag
\sin{\left(Ma\sin{\frac{\pi}{3}}u+C_2\right)}+\\
\notag
\sin{\left(Ma\sin{\frac{\pi}{3}}u+Ma\sin{\frac{\pi}{3}}v+C_3\right)}
%\notag
\end{gather}
%\end{multline}
Полагая в (\ref{pr111F}) $F(u=0)=0,F(v=0)=0,F(w=0)=0$, получим остальные зависимости для $C_i$
\begin{gather*}
\sin{C_1}=0,\quad\sin{C_2}=0,\quad\sin{\left(Ma\sin{\frac{\pi}{3}}+C_3\right)}=0\\
C_1=k_4\pi,\quad C_2=k_5\pi
\notag
\end{gather*}
Отсюда несложно получить
\begin{equation}
M_ka\sin{\frac{\pi}{3}}=2k\pi,\quad k=1,2,3\ldots
\notag
\end{equation}
и от остальных $k_j$ можно отказаться, а $C_i$ - обрезать по $mod(2\pi)$. Выделим выражение для $M_k$
\begin{equation}
M_k=\frac{2k\pi}{a\sin{\frac{\pi}{3}}}=\frac{4\sqrt{3}k\pi}{3a}
\notag
\end{equation}
, здесь $a$ - длина стороны равностороннего треугольника.
\par
Для $C_i$ возможны два варианта решения
\begin{equation}
\label{pr111sol1}
C_1=0,\quad C_2=0,\quad C_3=\pi
%\notag
\end{equation}
\begin{equation}
\label{pr111sol2}
C_1=\pi,\quad C_2=\pi,\quad C_3=0
%\notag
\end{equation}
В случае (\ref{pr111sol1}) решение записывается в виде
\begin{equation}
F(u,v,w)=\sin{2k\pi u}+\sin{2k\pi v}+\sin{\left(2k\pi(u+v)+\pi\right)}
%\notag
\end{equation}
В случае (\ref{pr111sol2}) решение отличается только множителем, что для собственных функций несущественно. Отметим ещё несколько эквивалентных выражений для решения
%\begin{gather*}
\begin{equation}
\notag
F(u,v,w)=\sin{(k\pi(v+w-u))}+\sin{(k\pi(w+u-v))}+\sin{(k\pi(u+v-w))}
\end{equation}
\begin{equation}
\label{add3sin}
F(u,v,w)=\sin{2k\pi u}+\sin{2k\pi v}+\sin{2k\pi w}%,\mbox{аддитивная формула 3-х синусов}
%\notag
\end{equation}
%\\
\begin{equation}
\label{mult3sin}
F(u,v,w)=\sin{k\pi u}\sin{k\pi v}\sin{k\pi w}
%\notag
\end{equation}
%\end{gather*}
Выражение (\ref{add3sin}) является аддитивной функцией трёх синусов, а (\ref{mult3sin}) - мультипликативной функцией трёх синусов.
\paragraph{Серия 2.}
Число углов $\Phi_i$ равно 6. Каждое частное решение $f_i$ формируется из строки следующей матрицы
$$
\begin{matrix}
\mbox{\textnumero} & \Phi & \tilde A & \tilde B & \tilde A-\tilde B & \Psi\\
1 & \Phi & S_1 & S_3 & -S_5\\
\\
2 & \displaystyle \Phi+\frac{2\pi}{6} & S_3 & S_5 & S_1\\
\\
3 & \displaystyle \Phi+\frac{4\pi}{6} & S_5 & -S_1 & S_3\\
\\
4 & -\Phi & S_5 & S_3 & -S_1\\
\\
5 & \displaystyle -\Phi+\frac{2\pi}{6} & S_3 & S_1 & S_5\\
\\
6 & \displaystyle -\Phi+\frac{4\pi}{6} & S_1 & -S_5 & S_3
\end{matrix}
$$
, где
\begin{gather*}
S_1=Ma\sin{\left(\Phi+\frac{\pi}{6}\right)}\\
S_3=Ma\sin{\left(\Phi+\frac{3\pi}{6}\right)}\\
S_5=Ma\sin{\left(\Phi+\frac{5\pi}{6}\right)},\quad S_3=S_1+S_5
\end{gather*}

Выпишем совокупность полученных уравнений, связывающих свободные члены частных решений
\begin{gather}
C_1-C_6=(2k_1+1)\pi,\:C_2-C_5=(2k_2+1)\pi,\:C_3-C_4=(2k_3+1)\pi
\label{CtildeA}
\\
C_1-C_4=(2k_4+1)\pi,\quad C_2+C_6=2k_5\pi,\quad C_3+C_5=2k_6\pi
\label{CtildeB}
\\
\Psi_1+\Psi_5=2k_7\pi,\quad \Psi_2+\Psi_4=2k_8\pi,\quad \Psi_3-\Psi_6=(2k_9+1)\pi
\label{CPsi}
%\notag
\end{gather}

Поскольку
\begin{gather*}
\Psi_1=\frac{S_1+S_3}{2}+C_1,\quad \Psi_2=\frac{S_3+S_5}{2}+C_2\\
\Psi_3=\frac{S_5-S_1}{2}+C_3,\quad \Psi_4=\frac{S_3+S_5}{2}+C_4\\
\Psi_5=\frac{S_1+S_3}{2}+C_5,\quad \Psi_6=\frac{S_1-S_5}{2}+C_6
\notag
\end{gather*}
, то (\ref{CPsi}) следует переписать в виде
\begin{gather}
\label{CPsi24}
S_1+S_3+C_1+C_5=2k_7\pi\\
\label{CPsi36}
S_3+S_5+C_2+C_4=2k_8\pi\\
\label{CPsi15}
S_5-S_1+C_3-C_6=(2k_9+1)\pi
\end{gather}
Для решения достаточно положить
\begin{gather*}
C_1=0\mbox{ или }\pi,\\
S_1=\frac{2\pi(2N_1-N_2)}{3},\quad S_5=\frac{2\pi(2N_2-N_1)}{3},\quad S_3=\frac{2\pi(N_1+N_2)}{3} 
\notag
\end{gather*}
, где $N_1,N_2$ - целые числа, и тогда
\begin{gather}
\label{F111}
F(u,v)=\sin{\left(S_1u+S_3v+C_1\right)}+\sin{\left(S_3u+S_5v+\pi-C_1\right)}+\\
\notag
\sin{\left(S_5u-S_1v+C_1\right)}+\sin{\left(S_5u+S_3v+\pi+C_1\right)}+\\
\notag
\sin{\left(S_3u+S_1v+C_1\right)}+\sin{\left(S_1u-S_5v+\pi+C_1\right)}
%\notag
\end{gather}
Вычисляя (\ref{Helmholz3}) для каждого слагаемого в (\ref{F111}), убеждаемся в том, что
\begin{equation}
M=\frac{\sqrt{3}\pi}{3R}\sqrt{N_1^2+N_2^2-N_1N_2}=\frac{\pi}{a}\sqrt{N_1^2+N_2^2-N_1N_2}
\notag
\end{equation}
Здесь $F,M$ являются соответственно семейством собственных функций и семейством собственных значений, зависящих от целочисленных параметров $N_1,N_2$.
