\subsection{Равнобедренный прямоугольный треугольник}

Равнобедренный прямоугольный треугольник имеет пропорцию углов $1:1:2$. Вычислим его константы, считая заданным $R$.
\newline
\begin{gather*}
\hat U=\hat V=\frac{\pi}{4},\quad\hat W=\frac{\pi}{2},\quad a\equiv l_u=l_v=R_1=R_2=\frac{R\sqrt{2}}{2},\\
\quad c=l_w=2R,\quad R_3=R,\quad D=a^2,\quad T_{uu}=T_{vv}=\frac{1}{4a^2},\quad T_{uv}=0,\\
\sigma_1=0,\quad\sigma_2=\frac{\pi}{2},\quad\sigma_3=-\frac{\pi}{4}
\end{gather*}
Число углов $\Phi_i$ равно 4. Каждое частное решение $f_i$ формируется из строки следующей матрицы
$$
\begin{matrix}
\mbox{\textnumero} & \Phi & \tilde A & \tilde B & \tilde A-\tilde B & \Psi\\
1 & \Phi & S_1 & S_2 & S_3\\
\\
2 & \displaystyle \Phi+\frac{\pi}{2} & S_2 & -S_1 & S_4\\
\\
3 & \displaystyle -\Phi & -S_1 & S_2 & -S_4\\
\\
4 & \displaystyle -\Phi+\frac{\pi}{2} & S_2 & S_1 & -S_3
\end{matrix}
$$
, где
\begin{gather*}
S_1=Ma\sin\Phi,\quad S_2=Ma\sin{\left(\Phi+\frac{\pi}{2}\right)},\\
S_3=MR\sin{\left(\Phi-\frac{\pi}{4}\right)},\quad
S_4=MR\sin{\left(\Phi+\frac{\pi}{4}\right)}
\notag
\end{gather*}
Имеем далее
\begin{gather*}
C_1+C_3==2k_1\pi,\quad C_2-C_4=(2k_2+1)\pi,\quad C_1-C_3=(2k_3+1)\pi,\\
C_2+C_4=2k_4\pi,\quad\Psi_1+\Psi_4=2k_4\pi,\quad \Psi_2+\Psi_3=2k_5\pi
\notag
\end{gather*}
и решение имеет следующий вид
\begin{gather*}
F(u,v)=\sin{\left(S_1u+S_2v+C_1\right)}+\sin{\left(S_2u-S_1v+C_2\right)}+\\
\sin{\left(-S_1u+S_2v+C_3\right)}+\sin{\left(S_2u+S_1v+C_4\right)}
\notag
\end{gather*}
, где $N_1,N_2$ - целые числа, а $C_i$ округляются по $mod(2\pi)$:
\begin{gather*}
S_1=N_1\pi,\quad S_2=N_2\pi,\quad M=\frac{\pi\sqrt{N_1^2+N_2^2}}{2a},\\
C_1=\frac{\pi}{2}+(k_1+k_3)\pi,\quad C_2=\frac{\pi}{2}+(k_2+k_4)\pi,\\
C_3=-\frac{\pi}{2}+(k_1-k_3)\pi,\quad C_4=-\frac{\pi}{2}+(k_4-k_2)\pi
\notag
\end{gather*}
\newline
Поскольку для равнобедренного прямоугольного треугольника можно отождествить координаты $u=x,v=y$, далее приведён пример решения в переменных $x,y$ 
\begin{gather*}
F(x,y)=\sin{\left(N_1\pi x+N_2\pi y+\frac{\pi}{2}\right)}+
\sin{\left(N_2\pi x-N_1\pi y+\frac{\pi}{2}\right)}+\\
\sin{\left(-N_1\pi x+N_2\pi y-\frac{\pi}{2}\right)}+
\sin{\left(N_2\pi x+N_1\pi y-\frac{\pi}{2}\right)}
\notag
\end{gather*}
Фунция $F(x,y)$ есть собственная функция уравнения (\ref{Helmholz}), где 
\begin{equation}
M^2=\pi^2\left(N_1^2+N_2^2\right)
\notag
\end{equation}
, $N_1,N_2$ - произвольные целые числа, а треугольник $\triangle_{XYZ}$ имеет координаты $(0,0),(2,0),(0,2)$.



