\section{Стратегия построения решения}
Пусть $f_1$ - частное решение уравнения (\ref{Helmholz}), имеющее вид (\ref{deff}), $1$-е слагаемое ряда (\ref{sol2}) 
%\begin{equation}
%\begin{multline}
\begin{gather}
\label{f_1}
f_1\equiv\sin{\left(\tilde A_1u+\tilde B_1v+C_1\right)}=\\
\notag
\sin{
\left[
R_1M
\sin{\left(\Phi_1+\sigma_1\right)}+
R_2M\sin{\left(\Phi_1+\sigma_2\right)}
+C_1
\right]
}
%\end{equation}
%\notag
\end{gather}
%\end{multline}
Уравнение (\ref{f_1}) не удовлетворяет совокупности граничных условий (\ref{Fu0}), (\ref{Fv0}),
(\ref{Fw0}) хотя бы потому, что не существует такого $\Phi_1$, чтобы одновременно выполнялись равенства
\begin{equation}
%\label{sigma_1_3}
\sin{\left(\Phi_1+\sigma_1\right)}=0,\quad
\sin{\left(\Phi_1+\sigma_2\right)}=0,\quad
\sin{\left(\Phi_1+\sigma_3\right)}=0
\notag
\end{equation}
Следовательно, если и существует решение в виде суммы (\ref{sol2}), это должна быть сумма нескольких слагаемых. Чтобы подавить ненулевое слагаемое $\sin{\left(\Phi_{i_1}+\sigma_1\right)}$,
нужно подобрать такой угол $\Phi_{i_2}$, чтобы либо
\begin{equation}
\label{pluszero}
\sin{\left(\Phi_{i_1}+\sigma_1\right)}=\sin{\left(\Phi_{i_2}+\sigma_1\right)}
%\notag
\end{equation}
, либо
\begin{equation}
\label{minuszero}
\sin{\left(\Phi_{i_1}+\sigma_1\right)}=-\sin{\left(\Phi_{i_2}+\sigma_1\right)}
%\notag
\end{equation}
В случае (\ref{pluszero}) используется правило (\ref{role2}), где
\begin{equation}
\label{caseAlpha}
\alpha=\sin{\left(\Phi_{i_1}+\sigma_1\right)},\quad\beta_1=C_{i_1},\quad\beta_2=C_{i_2} 
%\notag
\end{equation}
В случае (\ref{minuszero}) используется правило (\ref{role1}) с той же формулой (\ref{caseAlpha}).
Для подавления $\sin{\left(\Phi_{i_1}+\sigma_1\right)}$ используется та же формула (\ref{caseAlpha}) с заменой $\sigma_1$ на $\sigma_2$.
Для подавления $\sin{\left(\Phi_{i_1}+\sigma_3\right)}$ используется та же формула (\ref{caseAlpha}) с заменой $\sigma_1$ на $\sigma_3$, $\beta_1$ на $\Psi_{i_1}$, 
$\beta_2$ на $\Psi_{i_2}$.\newline

Правила (\ref{role1}) и (\ref{role2}) приводят к системе линейных уравнений, которая будет совместной только при определённых значениях $M_k$. Но решать такую систему современная математика умеет только в случае её конечности. Для конкретного $\triangle_{UVW}$ и любого $\Phi_{i_1}$ несложно найти такой $\Phi_{i_2}$, чтобы подавить один из $\sin{\left(\Phi_{i_1}+\sigma_j\right)},j=1,2,3$, а тогда появятся неподавленные слагаемые для
$\Phi_{i_2}$. Для произвольного $\triangle_{UVW}$, с любыми углами $\angle U,\angle V,\angle W$ 
процесс бесконечен, но если хотя бы два из углов треугольника рационально эквивалентны $\pi$,
то процесс добавления $\Phi_{i_j}$ заканчивается на некотором шаге. Это есть следствие периодичности тригонометрических функций. Угол $\angle U$ рационально эквивалентен $\pi$, если существуют такие целые числа $a_u,b_u$, что
\begin{equation}
%\label{rationalAngle}
\hat U=\frac{a_u}{b_u}\pi
\notag
\end{equation}
Ввиду (\ref{sumpi}) третий угол $\triangle_{UVW}$ также рационально эквивалентен $\pi$, если это свойство выполняется для двух других углов.\newline\newline
Вычислим $n$ - максимальное число слагаемых. Пусть целые числа $\tilde u,\tilde v,\tilde w$ таковы, что 
\begin{equation}
%\label{NOD1}
\tilde u:\tilde v:\tilde w=\hat U:\hat V:\hat W,\quad\mbox{Н.О.Д$\left(\tilde u,\tilde v,\tilde w\right)=1$}
\notag
\end{equation}
, где Н.О.Д - наименьший общий делитель, а Н.О.К - наименьшее общее кратное.\newline\newline
Тогда 
\begin{equation}
%\label{NOK2}
n=\mbox{Н.О.К$\left(2,\tilde u+\tilde v+\tilde w\right)$}
\notag
\end{equation}
Число $2$ появляется из-за знаменателя $\frac{\pi}{2}$ в (\ref{sigma1R1}), (\ref{sigma2R2}),
(\ref{sigma3R3}).
Формулы для вычисления углов треугольника
\begin{equation}
%\label{calcangles}
\angle U=\frac{\pi\tilde u}{\tilde u+\tilde v+\tilde w},\quad
\angle V=\frac{\pi\tilde v}{\tilde u+\tilde v+\tilde w},\quad
\angle W=\frac{\pi\tilde w}{\tilde u+\tilde v+\tilde w}
\notag
\end{equation}
Зная углы, можно вычислить их синусы, а зная $R$, вычислить стороны и тем самых полностью построить $\triangle_{UVW}$.
