\section{Вид решения}
Учитывая (\ref{Helmholz}), (\ref{sol1}), (\ref{Helmholz2}) и (\ref{boundary2}),
общее решение ${F}$ будем искать в виде суммы частных решений ${f_i}$
\begin{equation}
\label{sol2}
F=\sum\limits^n_{i=1}{f_i(u,v,w)}
%\notag
\end{equation}
, где каждая частная функция ${f_i}$ имеет вид
\begin{equation}
\label{deff}
f_i(u,v,w)=\sin\!{(A_iu+B_iv+C_iw)}
%\notag
\end{equation}

Опуская нижние индексы в (\ref{deff}), выполним замены 
\begin{equation}
%\label{subAB}
\tilde A=A-C,\quad\tilde B=B-C
\notag
\end{equation}
, затем, выбрав в качестве независимых $T_{uu},T_{vv},T_{uv}$, и используя (\ref{equal1}), линейность лапласиана $\Delta$, упростим формулы:
\begin{equation}
%\label{sol3}
f=\sin\!{(\tilde Au+\tilde Bv+C)}
\notag
\end{equation}
\begin{equation}
\label{Helmholz3}
\Delta f\equiv -(T_{uu}\tilde A^2+T_{vv}\tilde B^2+2T_{uv}\tilde A\tilde B)f=-M^2f
%\notag
\end{equation}

Сокращая (\ref{Helmholz3}) на $f$, получаем
\begin{equation}
\label{sol4}
T_{uu}\tilde A^2+T_{vv}\tilde B^2+2T_{uv}\tilde A\tilde B=M^2
%\notag
\end{equation}

Каждая частная функция $f_i$ удовлетворяет линейному уравнению (\ref{Helmholz2}) самостоятельно, сумма же их, равная $F$, должна удовлетворять граничным условиям  (\ref{boundary2}).
\par
