Операции над пропорциями

На множестве пропорций определены бинарные операции пропорционального сложения $\oplus$ и пропорционального вычитания $\ominus$. Пусть $C=A\oplus B$, где $A,B,C$ - пропорции размера $n$. Тогда

$$C_i=A_iB_n+A_nB_i,\quad(1\leqslant i\leqslant n-1),\quad C_n=A_nB_n$$

Если $C=A\ominus B$, то

$$C_i=A_iB_n-A_nB_i,\quad(1\leqslant i\leqslant n-1),\quad C_n=A_nB_n$$

В отличие от дробей, последний компонент пропорции, к примеру, $A_n$, может принимать значение 0. Верны формулы $A=A\oplus\bar 0$ и $A=A\ominus\bar 0$.

Бинарные операции сравнения $\cong,\ncong$ на множестве пропорций возвращают логический результат $true$ или $false$. Операция $\cong$ определяется на паре пропорций $A,B$ следующим образом:

$$A\cong B\Rightarrow\exists\lambda\ne 0:A_i=\lambda B_i,\quad(1\leqslant i\leqslant n)$$

Операция $\ncong$ возвращает противоположный признак результата, нежели $\cong$.

На множестве пропорций определена унарная операция инверсия $\diagup$. В случае $n=2$ ей соответствует операция обращения дроби, когда числитель и знаменатель меняются местами. В отличие от обычной дроби знаменатель пропорции может принимать значение 0. В случае $n>2$ инверсия пропорции - это просто некоторая перестановка, отличная от тождественной, её компонентов. Более строгие правила правила могут требовать отсутствия циклов либо налагать какие-либо иные ограничения на эту перестановку. В данном случае вполне достаточно объявить инверсией перестановку циклического сдвига влево:

$$A=\diagup B\quad \Rightarrow A_i=B_{i+1},\quad A_n=B_1,\quad(1\leqslant i\leqslant n-1)$$

Операция, обратная инверсии, обозначается символом $\diagdown$. Это есть перестановка циклического сдвига вправо:

$$A=\diagdown B\quad \Rightarrow A_i=B_{i-1},\quad A_1=B_n,\quad(2\leqslant i\leqslant n)$$

На множестве пропорций определена унарная операция $floor$. Записывается она для пропорций $A$ и $B$ так:

$$A=floor(B), A=\left\lfloor B\right\rfloor$$

, что означает

$$A=\left\lfloor B\right\rfloor\quad\Rightarrow A_i=\left\lfloor\frac{B_i}{B_n}\right\rfloor,\quad (1\leqslant i\leqslant n-1),\quad A_n=1, \mbox{ при $B_n\ne 0$}$$

$$A=\left\lfloor B\right\rfloor\quad\Rightarrow A=\bar 0 , \mbox{ при $B_n=0$}$$

Используются технологии uCoz