Приведённый вид частного уравнения

Перепишем левую часть (14) в виде

$$T_{uu}\tilde A^2+T_{vv}\tilde B^2+2T_{uv}\tilde A\tilde B\equiv T... ...ilde B^2- 2\frac{\sin{\hat V}\cos{\hat W}}{\sin{\hat U}}\tilde A\tilde B\right]$$ (20)

Продолжая, имеем

$$(\ref{sol4a})= T_{uu}\left[ \tilde A... ...\tilde B+ \frac{\sin^2{\hat V}\cos^2{\hat W}}{\sin^2{\hat U}}\tilde B^2+\right.$$

$$\left.\frac{\sin^2{\hat V}}{\sin^2{\hat U}}\left(1-\cos^2{\hat W}\right)\tilde B^2 \right] \notag$$

$$(\ref{sol4a})= T_{uu}\left[ \left(\t... ...\left(\frac{\sin{\hat V}\sin{\hat W}}{\sin{\hat U}}\right)^2\tilde B^2 \right]=$$

$$T_{uu}\left(\hat A^2+\hat B^2\right)=M^2$$

, где $\hat A,\hat B$ и $\tilde A,\tilde B$ связаны зависимостями

$$\hat A=\tilde A-\frac{\sin{\hat V}\cos{\hat W}}{\sin{\hat U}}\tilde B,\quad \hat B=\frac{\sin{\hat V}\sin{\hat W}}{\sin{\hat U}}\tilde B$$

$$\tilde A=\hat A+\ctg{\hat W}*\hat B,\quad \tilde B=\frac{\sin{\hat U}}{\sin{\hat V}\sin{\hat W}}\hat B$$

Тогда $\exists\Phi,\exists\rho$ такие, что

$$\frac{\hat A}{M\rho}=\sin{\Phi},\quad \frac{\hat B}{M\rho}=\cos{\Phi}$$ (21)

$$\rho=2R\sin{\hat V}\sin{\hat W},\quad T_{uu}=\rho^2$$

и верны

$$\hat A=\rho M\sin{\Phi},\quad \hat B=\rho M\cos{\Phi}$$

, удовлетворяющие уравнению (7).

Такой угол $\Phi$ будем называть решающим углом уравнений (21), (14), принадлежашим данному частному решению.

Приведём $\tilde A$ к более удобному виду

$$\tilde A=\rho M\left(\sin{\Phi}+\ctg{\hat W}\cos{\Phi}\right)=MR_1\sin{\left(\Phi+\sigma_1\right)}$$ (22)

В (22) $\sigma_1$ должно удовлетворять

$$\tg{\sigma_1}=\ctg{\hat W}$$

поэтому

$$\sigma_1=\frac{\pi}{2}-\hat W,\quad R_1=\frac{\rho}{\sin{\hat W}}=2R\sin{\hat V}=l_v$$ (23)

Для $\tilde B$ имеем

$$\tilde B=\rho M\frac{\sin{\hat U}} {\sin{\hat V}\sin{\hat W}} \cos{\Phi}=MR_2\sin{\left(\Phi+\sigma_2\right)}$$

, где

$$\sigma_2=\frac{\pi}{2},\quad R_2=2R\sin{\hat U}=l_u$$ (24)

Для $\tilde A-\tilde B$ имеем

$$\tilde A-\tilde B=\rho M\left[\sin{\Phi}+\left(\ctg{\hat W}-\frac{\sin{\hat U}}{\sin{\hat V}\sin{\hat W}} \right)\cos{\Phi} \right]=$$

$$\rho M\left(\sin{\Phi}-\ctg{\hat V}\cos{\Phi}\right)= \rho M\left[\sin{\Phi}+\tg{\left(\frac{3\pi}{2}+\hat V\right)}\cos{\Phi}\right]=$$

$$\rho M\left(\sin{\Phi+\tg{\sigma_3}\cos{\Phi}}\right)= MR_3\sin{\left(\Phi+\sigma_3\right)} \notag$$

Поскольку

$$\sin{\hat U}=\sin{\left(\hat V+\hat W\right)},\quad\frac{\sin{\left(\hat V+\hat W\right)}}{\sin{\hat V}\sin{\hat W}}=\ctg{\hat V}+\ctg{\hat W}$$

$$\left(\ctg{\hat W}-\frac{\sin{\hat U}}{\sin{\hat V}\sin{\hat W}} \right)=\ctg{\hat W}-\ctg{\hat V}-\ctg{\hat W}=-\ctg{\hat V}=\tg{\sigma_3}$$

, то для $R_3,\sigma_3$ имеем

$$R_3=\frac{\rho}{\sin{\hat V}}=2R\sin{\hat W}=l_w,\quad\sigma_3=\frac{3\pi}{2}+\hat V$$

, где из двух вариантов для $\sigma_3$ выбран тот, который задаёт правильный знак согласно (8).

Используются технологии uCoz