Стратегия построения решения

Пусть $f_1$ - частное решение уравнения (1), имеющее вид (12), $1$-е слагаемое ряда (11)

$$f_1\equiv\sin{\left(\tilde A_1u+\tilde B_1v+C_1\right)}=$$ (25)

$$\sin{ \left[ R_1M \sin{\left(\Phi_1+\sigma_1\right)}+ R_2M\sin{\left(\Phi_1+\sigma_2\right)} +C_1 \right] }$$

Уравнение (25) не удовлетворяет совокупности граничных условий (15), (16), (17) хотя бы потому, что не существует такого $\Phi_1$, чтобы одновременно выполнялись равенства

$$\sin{\left(\Phi_1+\sigma_1\right)}=0,\quad \sin{\left(\Phi_1+\sigma_2\right)}=0,\quad \sin{\left(\Phi_1+\sigma_3\right)}=0$$

Следовательно, если и существует решение в виде суммы (11), это должна быть сумма нескольких слагаемых. Чтобы подавить ненулевое слагаемое $\sin{\left(\Phi_{i_1}+\sigma_1\right)}$, нужно подобрать такой угол $\Phi_{i_2}$, чтобы либо

$$\sin{\left(\Phi_{i_1}+\sigma_1\right)}=\sin{\left(\Phi_{i_2}+\sigma_1\right)}$$ (26)

, либо

$$\sin{\left(\Phi_{i_1}+\sigma_1\right)}=-\sin{\left(\Phi_{i_2}+\sigma_1\right)}$$ (27)

В случае (26) используется правило (19), где

$$\alpha=\sin{\left(\Phi_{i_1}+\sigma_1\right)},\quad\beta_1=C_{i_1},\quad\beta_2=C_{i_2}$$ (28)

В случае (27) используется правило (18) с той же формулой (28). Для подавления $\sin{\left(\Phi_{i_1}+\sigma_1\right)}$ используется та же формула (28) с заменой $\sigma_1$ на $\sigma_2$. Для подавления $\sin{\left(\Phi_{i_1}+\sigma_3\right)}$ используется та же формула (28) с заменой $\sigma_1$ на $\sigma_3$, $\beta_1$ на $\Psi_{i_1}$, $\beta_2$ на $\Psi_{i_2}$.

Правила (18) и (19) приводят к системе линейных уравнений, которая будет совместной только при определённых значениях $M_k$. Но решать такую систему современная математика умеет только в случае её конечности. Для конкретного $\triangle_{UVW}$ и любого $\Phi_{i_1}$ несложно найти такой $\Phi_{i_2}$, чтобы подавить один из $\sin{\left(\Phi_{i_1}+\sigma_j\right)},j=1,2,3$, а тогда появятся неподавленные слагаемые для $\Phi_{i_2}$. Для произвольного $\triangle_{UVW}$, с любыми углами $\angle U,\angle V,\angle W$ процесс бесконечен, но если хотя бы два из углов треугольника рационально эквивалентны $\pi$, то процесс добавления $\Phi_{i_j}$ заканчивается на некотором шаге. Это есть следствие периодичности тригонометрических функций. Угол $\angle U$ рационально эквивалентен $\pi$, если существуют такие целые числа $a_u,b_u$, что

$$\hat U=\frac{a_u}{b_u}\pi$$

Ввиду (6) третий угол $\triangle_{UVW}$ также рационально эквивалентен $\pi$, если это свойство выполняется для двух других углов.

Вычислим $n$ - максимальное число слагаемых. Пусть целые числа $\tilde u,\tilde v,\tilde w$ таковы, что

$$\tilde u:\tilde v:\tilde w=\hat U:\hat V:\hat W, \mbox{Н.О.Д$\left(\tilde u,\tilde v,\tilde w\right)=1$}$$

, где Н.О.Д - наименьший общий делитель, а Н.О.К - наименьшее общее кратное.

Тогда

$$n= \mbox{Н.О.К$\left(2,\tilde u+\tilde v+\tilde w\right)$}$$

Число $2$ появляется из-за знаменателя $\frac{\pi}{2}$ в (23), (24), (25). Формулы для вычисления углов треугольника

$$\angle U=\frac{\pi\tilde u}{\tilde u+\tilde v+\tilde w},\quad \an... ...tilde v+\tilde w},\quad \angle W=\frac{\pi\tilde w}{\tilde u+\tilde v+\tilde w}$$

Зная углы, можно вычислить их синусы, а зная $R$, вычислить стороны и тем самых полностью построить $\triangle_{UVW}$.

Используются технологии uCoz