Серия 1.

Подберём 3 таких угла $\Phi_i$, чтобы $\sin{\left(\Phi+\sigma_i\right)}=0$ и составим таблицу всего из трёх строк, соответствующим этим углам. Напоминаем, что каждое частное решение, соответствующее $\Phi_i$, имеет вид

$$f_i=\sin{\left(\tilde A_iu+\tilde B_iv+C_i\right)}$$

, где $\tilde A_i,\tilde B_i$ вычисляются через $\Phi_i$.

Запишем матрицу из коэффициентов частных решений

$$\begin{matrix} \mbox{\textnumero} & \Phi & \tilde A & \tilde B & ... ... 3 & \displaystyle \frac{\pi}{6} & \phantom{*} & \phantom{*} & 0 \end{matrix}$$

, а затем начнём заполнять пустые места, вычисляя значения

$$\begin{matrix} \mbox{\textnumero} & \Phi & \tilde A & \tilde B & ... ...le Ma\sin{\frac{\pi}{3}} & \displaystyle Ma\sin{\frac{\pi}{3}} & 0 \end{matrix}$$

Здесь была использована формула

$$\sin{\frac{2\pi}{3}}=\sin{\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)}=\sin{\frac{\pi}{3}}$$

В каждом из столбцов $\tilde A,\tilde B,\tilde A-\tilde B$ легко находятся пары с совпадающими либо противоположными по знаку значениями. Из пары $(\tilde A_2,\tilde A_3)$, используя (19) и полагая

$$\alpha=Ma\sin{\frac{\pi}{3}},\quad\beta_1=C_2,\quad\beta_2=C_3$$

, получаем

$$C_2-C_3=(2k_1+1)\pi$$

Из пары $(\tilde B_1,\tilde B_3)$, используя (19) и полагая

$$\alpha=Ma\sin{\frac{\pi}{3}},\quad\beta_1=C_1,\quad\beta_2=C_3$$

, получаем

$$C_1-C_3=(2k_2+1)\pi$$

Наконец, из пары $(\tilde A_1-\tilde B_1,\tilde A_3-\tilde B_3)$, используя (18) и полагая

$$\alpha=Ma\sin{\frac{\pi}{3}},\quad\beta_1=\Psi_1,\quad\beta_2=\Psi_2$$

, получаем

$$\Psi_1+\Psi_2=2k_3\pi$$

, где $\Psi_1=\frac{1}{2}Ma\sin{\frac{\pi}{3}}+C_1$, $\Psi_2=\frac{1}{2}Ma\sin{\frac{\pi}{3}}+C_2$.

Коэффициенты $C_i$, с одной стороны, имеют значения $mod(2\pi)$; с другой стороны, позволяя им принимать значения при различных $k_j$, можно получить весь ряд собственных чисел и собственных значений. Поэтому сначала берутся во внимание их общие значения, до вычисления $M$ в виде функции от целочисленных индексов $k_j$, затем эти значения обрезаются по $mod(2\pi)$ без потери общности.

Выпишем выражение для $F$ полностью.

$$F(u,v,w)=\sin{\left(Ma\sin{\frac{\pi}{3}}v+C_1\right)}+$$ (29)

$$\sin{\left(Ma\sin{\frac{\pi}{3}}u+C_2\right)}+$$

$$\sin{\left(Ma\sin{\frac{\pi}{3}}u+Ma\sin{\frac{\pi}{3}}v+C_3\right)}$$

Полагая в (29) $F(u=0)=0,F(v=0)=0,F(w=0)=0$, получим остальные зависимости для $C_i$

$$\sin{C_1}=0,\quad\sin{C_2}=0,\quad\sin{\left(Ma\sin{\frac{\pi}{3}}+C_3\right)}=0$$

$$C_1=k_4\pi,\quad C_2=k_5\pi \notag$$

Отсюда несложно получить

$$M_ka\sin{\frac{\pi}{3}}=2k\pi,\quad k=1,2,3\ldots$$

и от остальных $k_j$ можно отказаться, а $C_i$ - обрезать по $mod(2\pi)$. Выделим выражение для $M_k$

$$M_k=\frac{2k\pi}{a\sin{\frac{\pi}{3}}}=\frac{4\sqrt{3}k\pi}{3a}$$

, здесь $a$ - длина стороны равностороннего треугольника.

Для $C_i$ возможны два варианта решения

$$C_1=0,\quad C_2=0,\quad C_3=\pi$$ (30)

$$C_1=\pi,\quad C_2=\pi,\quad C_3=0$$ (31)

В случае (30) решение записывается в виде

$$F(u,v,w)=\sin{2k\pi u}+\sin{2k\pi v}+\sin{\left(2k\pi(u+v)+\pi\right)}$$ (32)

В случае (31) решение отличается только множителем, что для собственных функций несущественно. Отметим ещё несколько эквивалентных выражений для решения

$$F(u,v,w)=\sin{(k\pi(v+w-u))}+\sin{(k\pi(w+u-v))}+\sin{(k\pi(u+v-w))}$$

$$F(u,v,w)=\sin{2k\pi u}+\sin{2k\pi v}+\sin{2k\pi w}%,\mbox{аддитивная формула 3-х синусов}$$ (33)

$$F(u,v,w)=\sin{k\pi u}\sin{k\pi v}\sin{k\pi w}$$ (34)

Выражение (33) является аддитивной функцией трёх синусов, а (34) - мультипликативной функцией трёх синусов.

Используются технологии uCoz