Серия 2.

Число углов $\Phi_i$ равно 6. Каждое частное решение $f_i$ формируется из строки следующей матрицы

$$\begin{matrix} \mbox{\textnumero} & \Phi & \tilde A & \tilde B & ... ...5\\ \\ 6 & \displaystyle -\Phi+\frac{4\pi}{6} & S_1 & -S_5 & S_3 \end{matrix}$$

, где

$$S_1=Ma\sin{\left(\Phi+\frac{\pi}{6}\right)}$$

$$S_3=Ma\sin{\left(\Phi+\frac{3\pi}{6}\right)}$$

$$S_5=Ma\sin{\left(\Phi+\frac{5\pi}{6}\right)},\quad S_3=S_1+S_5$$

Выпишем совокупность полученных уравнений, связывающих свободные члены частных решений

$$C_1-C_6=(2k_1+1)\pi,\:C_2-C_5=(2k_2+1)\pi,\:C_3-C_4=(2k_3+1)\pi$$ (35)

$$C_1-C_4=(2k_4+1)\pi,\quad C_2+C_6=2k_5\pi,\quad C_3+C_5=2k_6\pi$$ (36)

$$\Psi_1+\Psi_5=2k_7\pi,\quad \Psi_2+\Psi_4=2k_8\pi,\quad \Psi_3-\Psi_6=(2k_9+1)\pi$$ (37)

Поскольку

$$\Psi_1=\frac{S_1+S_3}{2}+C_1,\quad \Psi_2=\frac{S_3+S_5}{2}+C_2$$

$$\Psi_3=\frac{S_5-S_1}{2}+C_3,\quad \Psi_4=\frac{S_3+S_5}{2}+C_4$$

$$\Psi_5=\frac{S_1+S_3}{2}+C_5,\quad \Psi_6=\frac{S_1-S_5}{2}+C_6 \notag$$

, то (37) следует переписать в виде

$$S_1+S_3+C_1+C_5=2k_7\pi$$ (38)

$$S_3+S_5+C_2+C_4=2k_8\pi$$ (39)

$$S_5-S_1+C_3-C_6=(2k_9+1)\pi$$ (40)

Для решения достаточно положить

$$C_1=0 \pi,$$

$$S_1=\frac{2\pi(2N_1-N_2)}{3},\quad S_5=\frac{2\pi(2N_2-N_1)}{3},\quad S_3=\frac{2\pi(N_1+N_2)}{3} \notag$$

, где $N_1,N_2$ - целые числа, и тогда

$$F(u,v)=\sin{\left(S_1u+S_3v+C_1\right)}+\sin{\left(S_3u+S_5v+\pi-C_1\right)}+$$ (41)

$$\sin{\left(S_5u-S_1v+C_1\right)}+\sin{\left(S_5u+S_3v+\pi+C_1\right)}+$$

$$\sin{\left(S_3u+S_1v+C_1\right)}+\sin{\left(S_1u-S_5v+\pi+C_1\right)}$$

Вычисляя (13) для каждого слагаемого в (41), убеждаемся в том, что

$$M=\frac{\sqrt{3}\pi}{3R}\sqrt{N_1^2+N_2^2-N_1N_2}=\frac{\pi}{a}\sqrt{N_1^2+N_2^2-N_1N_2}$$

Здесь $F,M$ являются соответственно семейством собственных функций и семейством собственных значений, зависящих от целочисленных параметров $N_1,N_2$.

Используются технологии uCoz