Барицентрические координаты

Для треугольника $\triangle_{UVW}$ с координатами $U(x_u,y_u),V(x_v,y_v),W(x_w,y_w)$ определим его углы $\hat U=\angle U,\hat V=\angle V,\hat W=\angle W$ и барицентрические координаты $u,v,w$, как решение системы уравнений

$$\left( \begin{array}{ccc} x_u & x_v & x_w y_u & y_v & y_w 1 &... ...\begin{pmatrix}u v w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x y 1 \end{pmatrix}$$ (4)

, где для $u,v,w$ выполняется дополнительное условие (5)

$$\fbox{u+v+w=1}$$ (5)

Обозначим $\hat U=\angle U,\hat V=\angle V,\hat W=\angle W$, имеем равенство

$$\fbox{$\hat U+\hat V+\hat W=\pi$}$$ (6)

Не теряя общности, можно положить

$$\hat U\leqslant\hat V\leqslant\hat W$$ (7)

Для вершин треугольника барицентрические координаты суть следующие

$$U(1,0,0),V(0,1,0),W(0,0,1)$$

Определим $D$ и $S$:

$$D=\left\vert \begin{array}{ccc} x_u & x_v & x_w y_u & y_v & y_w 1 & 1 & 1 \end{array} \right\vert=2S$$

Тогда барицентрические координаты $u,v,w$ любой точки можно пересчитать по формулам

$$u=\frac{1}{D}\left\vert \begin{array}{ccc} x & x_v & x_w y & y_... ...n{array}{ccc} x_u & x_v & x y_u & y_v & y 1 & 1 & 1 \end{array} \right\vert$$

Определим $l_u,l_v,l_w$ как длины сторон треугольника $\triangle_{UVW}$, расположенных соответственно против вершин $U,V,W$. Определим и вычислим далее производные и переменные $T_{\alpha\beta}$:

$$u^\prime_x=\frac{\displaystyle{y_v-y_w}}{\displaystyle{D}},\quad ... ...splaystyle{D}},\quad w^\prime_x=\frac{\displaystyle{y_u-y_v}}{\displaystyle{D}}$$

$$u^\prime_y=\frac{\displaystyle{x_w-x_v}}{\displaystyle{D}},\quad ... ...splaystyle{D}},\quad w^\prime_y=\frac{\displaystyle{x_v-x_u}}{\displaystyle{D}}$$

$$T_{uu}\equiv\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2=\frac{l^2_u}{D^2}$$

$$T_{vv}\equiv\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2=\frac{l^2_v}{D^2}$$

$$T_{ww}\equiv\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2=\frac{l^2_w}{D^2}$$

$$T_{uv}\equiv\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\parti... ...al u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}= -\frac{l_ul_v\cos{\hat W}}{D^2}$$

$$T_{uw}\equiv\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial w}{\parti... ...al u}{\partial y}\frac{\partial w}{\partial y}= -\frac{l_ul_w\cos{\hat V}}{D^2}$$

$$T_{vw}\equiv\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial w}{\parti... ...al v}{\partial y}\frac{\partial w}{\partial y}= -\frac{l_vl_w\cos{\hat U}}{D^2}$$

Коэффициенты треугольника $T_{\alpha\beta}$ связаны указаными далее зависимостями. Независимыми можно выбрать, к примеру, либо $T_{uu},T_{vv},T_{ww}$, либо $T_{uu},T_{vv},T_{uv}$.

$$T_{uu}\!=\!T_{vv}\!+\!T_{ww}\!+\!2T_{vw}, T_{vv}\!=\!T_{uu}\!+\!T_{ww}\!+\!2T_{uw}, T_{ww}\!=\!T_{uu}\!+\!T_{vv}\!+\!2T_{uv}\!$$

$$T_{uu}+T_{uv}+T_{uw}=0,\quad T_{uv}+T_{vv}+T_{vw}=0,\quad T_{uw}+T_{vw}+T_{ww}=0$$

$$T_{uu}+T_{vv}+T_{ww}+2T_{uv}+2T_{uw}+2T_{vw}=0$$

Обозначим $R$ - радиус описанного вокруг треугольника окружности. Тогда имеем следующие равенства

$$\frac{l_u}{\sin{\hat U}}=\frac{l_v}{\sin{\hat V}}=\frac{l_w}{\sin{\hat W}}=2R$$

$$l_u=2R\sin{\hat U},\quad l_v=2R\sin{\hat V},\quad l_w=2R\sin{\hat W}$$

$$S=2R^2\sin{\hat U}\sin{\hat V}\sin{\hat W}$$

$$T_{uu}=\frac{1}{4R^2\sin^2{\hat V}\sin^2{\hat W}}$$

$$T_{vv}=\frac{1}{4R^2\sin^2{\hat U}\sin^2{\hat W}}$$

$$T_{ww}=\frac{1}{4R^2\sin^2{\hat U}\sin^2{\hat V}}$$

$$T_{uv}=-\frac{\cos{\hat W}}{4R^2\sin{\hat U}\sin{\hat V}\sin^2{\hat W}}$$

$$T_{uw}=-\frac{\cos{\hat V}}{4R^2\sin{\hat U}\sin^2{\hat V}\sin{\hat W}}$$

$$T_{vw}=-\frac{\cos{\hat U}}{4R^2\sin^2{\hat U}\sin{\hat V}\sin{\hat W}}$$

Из (6) следует, что

$$\sin{\hat W}=\sin{\hat U}\cos{\hat V}+\sin{\hat V}\cos{\hat U},\quad \cos{\hat W}=\sin{\hat U}\sin{\hat V}-\cos{\hat U}\cos{\hat V}$$

В дальнейшем будет несколько раз использована формула

$$a\sin{\varphi}+b\cos{\varphi}=\rho\sin{\left(\varphi+\sigma\right)}$$

, где

$$\rho=\sqrt{a^2+b^2},\quad\tg{\sigma}=\frac{b}{a},\quad\sin{\sigma}=\frac{b}{\rho}, \quad\cos{\sigma}=\frac{a}{\rho}$$ (8)

и её частные варианты

$$\sin{\varphi}+\tg{\sigma}\cos{\varphi}=\frac{1}{\cos{\sigma}}\sin{\left(\varphi+\sigma\right)}$$

$$\sin{\varphi}+\ctg{\sigma}\cos{\varphi}=\frac{1}{\sin{\sigma}}\cos{\left(\varphi-\sigma\right)}$$

Используются технологии uCoz